You are here

आर्किमिडीज आणि भास्कर यांच्या पद्धती गणित शिकवण्यास उपयुक्त

  • आर्किमिडीज आणि भास्कर यांच्या पद्धती गणित शिकवण्यास उपयुक्त
    आर्किमिडीज आणि भास्कर यांच्या पद्धती गणित शिकवण्यास उपयुक्त

संशोधकांनी ग्रीक आणि भारतीय गणितज्ञांच्या गोलाच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ काढण्याच्या पद्धतींची तुलना केली

शाळेत असताना आपल्यासाठी गणित म्हणजे घोकंपट्टी. त्यातलाच एक भाग म्हणून गोलाच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ काढायचे सूत्रही पाठ केले असेल कदाचित! सूत्र आले कसे याचा विचार न करता आपण बऱ्याच वेळेस ते वापरत असू. वास्तविक, प्राचीन गणितीय अभ्यासांमधील पद्धतींच्या मदतीने शिक्षक विद्यार्थ्यांना गोलाच्या पृष्ठभागाची  वेगवेगळ्या प्रकारे कल्पना कशी करता येईल ते दाखवू शकतील, ज्यामुळे गोलाच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ कसे काढावे हे समजणे सोपे होईल.

जर्नल ऑफ द इंडियन मॅथेमॅटिकल सोसायटी’ या कालिकात प्रकाशित झालेल्या एका अभ्यासात भारतीय तंत्रज्ञान संस्था मुंबई (आयआयटी, मुंबई) येथील प्राध्यापक के. रामसुब्रमण्यम् व त्यांच्या चमूने प्राचीन काळातील ग्रीक आणि भारतीय गणितज्ञांनी गोलाच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी वापरलेल्या पद्धतींचा तुलनात्मक अभ्यास केला. गणित शिकवण्यासाठी या पध्दतींची कश्या प्रकारे मदत होऊ शकेल, या संबंधित काही मुद्दे त्यांनी मांडले.

आधुनिक गणितामध्ये, गोलाच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ, संकलनशास्त्र म्हणजे इंटिग्रल कॅल्क्युलस वापरून काढले जाते, पण त्याचे सूत्र, सतराव्या शतकात न्यूटन आणि लिबनिझ यांनी कलनशास्त्र विकसित करण्याच्या अनेक शतके आधीपासून ज्ञात होते.

गोलाच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ सर्वप्रथम आर्किमिडीज याने इ.स.पू. तिसऱ्या शतकात, त्याच्या ‘ऑन दि स्फियर ऍण्ड सिलेंडर’ (दंडगोल व गोल याबद्दल) या ग्रंथात परिगणित केले असे मानले जाते. लक्षात घेण्याजोगी गोष्ट अशी की, प्राचीन ग्रीकांसारखेच, भारतात देखील गणितज्ञांनी क्षेत्रफळ आणि भौमितिक आकृत्यांचे आकारमान काढण्याचा प्रयत्न केला. प्रामुख्याने यज्ञकुंड बांधण्यासंबंधी गणितीय माहिती असलेल्या शुल्व सूत्र ग्रंथांमध्ये (इ.स.पू. आठशे) क्षेत्रफळ काढण्यासंबंधी आणि क्षेत्रफळ न बदलता आकार बदलण्यासंबंधीचे संदर्भ सापडतात.

भारतीय गणितज्ञ वर्तुळ आणि गोलाच्या संदर्भातील अभ्यास निदान ई.स.वि.सन पाचव्या शतकापासून करत होते. त्याच काळात आर्यभट्ट-१ याने वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाचे अचूक समीकरण ‘आर्यभटीय’ ग्रंथात लिहिले आहे. परंतु गोलाच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ काढण्या विषयीचा पहिला संदर्भ ई.स.वि.सन आठव्या शतकातील लल्ला लिखित  ‘पाटीगणित’ ग्रंथात आला आहे असे मानले जाते. काळाच्या ओघात हा ग्रंथ जरी गहाळ झाला असला तरी भास्कर या गणितज्ञाने लल्लाच्या पद्धतींचे वर्णन करून त्याचे परिक्षण केलेले सापडते. भास्कराला लल्लाचे निष्कर्ष चुकीचे असल्याचे आढळले. 

ई.स.वि.सन दहाव्या शतकात, आर्यभट्ट-२ याने गोलाच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी फार रोचक स्पष्टीकरण ‘महा-सिद्धांत’ या ग्रंथात  लिहिले आहे. पृथ्वीच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी त्याने चेंडूवर जाळे पसरण्याची कल्पना करावी असे सुचविले आहे. त्याने नमूद केले की गोलाचा परीघ आणि व्यास यांचा गुणाकार म्हणजे गोलाच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ होय. परंतु उपलब्ध साहित्यामध्ये, त्यांनी हे सिद्ध कसे केले असावे याचे पुरावे मात्र आपल्याला मिळत नाहीत.

चेंडूवर जाळे पसरण्याची वरील संकल्पना वापरत, भास्कर याने  ई.स.वि.सन बाराव्या शतकात, प्रसिध्द ग्रंथ ‘लीलावती’ मध्ये गोलाच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ काढण्याचे योग्य समीकरण मांडले. तसेच ‘सिद्धांतशिरोमणी’ आणि त्यावरील स्वरचित टीका ‘वासनाभाष्य’ ग्रंथात क्षेत्रफळ मोजण्याच्या अजून दोन पद्धती त्यांनी लिहिल्या आहेत. दोन्ही पद्धती गणिताच्या दृष्टिकोनातून महत्वपूर्ण आणि विषय  शिकविण्यासाठी उपयुक्त आहेत.

‘वासनाभाष्य’ मधील पहिल्या पद्धतीत, भास्कर यांनी टोमॅटोच्या वर्तुळाकार चकत्यांप्रमाणेच गोलाच्या चकत्या करण्याचा विचार मांडला आहे. गोलाच्या केंद्रबिंदूपासून ध्रुवापर्यंत चकत्यांचा आकार लहान होत जातो. प्रत्येक चकती उलगडल्यावर तिचा समलंब चौकोन तयार होतो. प्रत्येक तुकड्याची लांबी आणि रुंदी  अनुक्रमे त्याचे केंद्रबिंदूपासूनचे अंतर आणि किती तुकडे  केले आहेत यावर अवलंबून असते. चकत्यांचे केंद्रबिंदूपासूनचे अंतर तसेच त्यांची इतर मोजमापे वापरून, ज्ञात समीकरणावरून त्याचे क्षेत्रफळ काढता येते. अशा सर्व चकत्यांचे क्षेत्रफळ एकत्र करून गोलाच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ काढता येते. ही संकल्पना पृथ्वीच्या अक्षांशावर चकत्या कापून क्षेत्रफळ काढण्या सारखी  आहे.

 

भास्कर यांनी दुसरी पद्धत ‘सिद्धांतशिरोमणी’ मध्ये नमूद केली असून त्याचे स्पष्टीकरण ‘वासनाभाष्य’ मध्ये दिले आहे. वरील दोन्ही पद्धती समान तत्वावर आधारित आहेत. फरक इतकाच की दुसऱ्या पद्धतीत वर्तुळाकार चकत्या न करता सफरचंदाप्रमाणे कापून किंवा आर्यभटांनी दिलेल्या आवळ्याच्या उदाहरणाप्रमाणे उभ्या फोडींची संकल्पना मांडली आहे. तीत चंद्रकोरीच्या आकाराच्या समसमान फोडी करण्यात आल्या होत्या. भास्कर यांनी फोडींचे वर व खाली त्रिकोणी तसेच मध्यभागी समलंब चौकोनी तुकडे केले आणि ज्ञात समीकरण वापरून क्षेत्रफळ काढले. सर्व क्षेत्रफळांची बेरीज करून गोलाच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ काढले. ही पद्धत पृथ्वीचे रेखांशावर उभे तुकडे करून क्षेत्रफळ काढल्याप्रमाणे आहे.

ग्रीसमध्ये झालेल्या संशोधनात, आर्किमिडीजच्या म्हणण्या नुसार, गोल शंकूच्या चौपट असतो. त्यात गोलाचे महावृत्त म्हणजे त्याचा पाया व त्रिज्या म्हणजे उंची अशी कल्पना करता येते. ‘निगमित असंगति’(रिडक्शियो ऍड ऍबसर्डम् (reductio ad absurdum) हे तंत्र आधारभूत मानून त्याने हे सूत्र प्रभावीपणे सिद्ध केले आहे.

“आर्किमिडीज यांनी अतिशय काटेकोरपणे, आधी पूर्वानुमाने आणि गृहीतके मांडून, एक एक सिद्धांत मांडूत, मागील सिद्धांत सिद्ध करून पुढे जात तेहतीस टप्प्यांच्या आधारे गोलाच्या पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळ काढले आहे,” असे लेखक सांगतात.

आर्किमिडीजने प्रथम असे दाखवून दिले की, कितीही बाजू असणाऱ्या, गोलात समाविष्ट होऊ शकणाऱ्या बहुभुज घनवस्तूच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ त्या गोलाच्या पृष्ठभागावर काढता येणाऱ्या सर्वात मोठ्या वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाच्या चौपटीपेक्षा कमी असते. त्यामुळे अशा गोलाचे क्षेत्रफळ त्या गोलावर काढता येणाऱ्या सर्वात मोठ्या वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाच्या चौपटीपेक्षा कमी असू शकत नाही. त्यानंतर त्याने असेही दाखवून दिले की, एखाद्या बहुभूज घनवस्तू मध्ये एखादा गोल समाविष्ट केला, तर तिच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ हे त्या गोलाच्या पृष्ठभागावर काढता येणाऱ्या सर्वात मोठ्या वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाच्या चौपटीपेक्षा जास्त असते. त्यामुळे अशा गोलाचे क्षेत्रफळ त्या गोलावर काढता येणाऱ्या सर्वात मोठ्या वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाच्या चौपटीपेक्षा जास्त असू शकत नाही. म्हणजेच गोलाचे क्षेत्रफळ हे त्यावर काढता येणाऱ्या सर्वात मोठ्या वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाच्या बरोब्बर चौपट असते. 

आर्किमिडीज आणि भास्कर यांच्या पद्धतींमधील फरक दाखवताना, त्यामागील त्यांच्या प्रेरणा वेगवेगळ्या आहेत असे संशोधक सुचवतात. भास्कर याच्या पद्धती अधिक व्यावहारिक आणि प्रात्यक्षिक आहेत तर आर्किमिडीज अधिक सैद्धांतिक स्पष्टीकरण देतो. भास्कर याच्या पद्धतीमध्ये गोलाच्या पृष्ठभागाला ज्ञात भौमितीय आकारात विभाजित करून त्या भागांच्या क्षेत्रफळांची बेरीज केली जाते. विद्यार्थ्यांसाठी अशी पद्धत सोपी, सहज कल्पना करण्याजोगी, तसेच व्यावहारिक उदाहरणे सोडवण्यास उपयुक्त आहे. भास्कर त्याच्या पद्धतीत साधे गुणाकार व बेरजा असलेल्या पदावल्या वापरतो. क्षेत्रफळ काढण्यासाठी पाया गुणिले उंची या तऱ्हेचे समीकरणाचा वापरता येते हे माहीत असलेल्या विद्यार्थ्याना त्या समजायला सोप्या जातात.

संशोधकाना असे वाटते की, विद्यार्थ्याना विषयाचा परिचय करून देण्यासाठी भास्कराच्या पद्धती अधिक उपयुक्त आहेत. भास्कराच्या बऱ्याच पद्धती अशाच सुगम असल्यामुळे त्यांचा शालेय अभ्यासक्रमात समावेश करावा असे ते सुचवतात. आर्किमिडीजच्या पद्धतीत मात्र, गृहीतके आधारभूत मानून, एक एक प्रमेय मांडून, ते सिद्ध करत हळू हळू विकसित केलेल्या युक्तिवादावर आधारित असल्यामुळे, प्रगत गणिताचा अभ्यास करणाऱ्या विद्यार्थ्यांना त्या अधिक आवडतील. "आव्हानात्मक गणितं कश्या पद्धतीने सोडवावीत याबद्दल आर्किमिडीजचा दृष्टिकोन काही महत्त्वाचे धडे देतो,” असे लेखकांचे मत आहे.

“प्राचीन भारतीय गणितज्ञ सुस्पष्ट कल्पना आणि काव्यात्मक भाषा यांचा वापर करून विद्यार्थ्यांना गणितीय संकल्पना आणि त्यांचे परस्पर संबंध शिकवत असत. त्यांचे म्हणणे स्पष्ट करण्यासाठी तसेच तरुणांमध्ये गणिताबाबत रुची निर्माण व्हावी यासाठी त्यांनी सांस्कृतिक तसेच व्यावहारीक उदाहरणांवर भर दिला होता. हेच तंत्र पुन्हा वापरत सर्वांना परिचित असलेल्या भाषेत, माहीत असलेले सांस्कृतिक संदर्भ वापरत गणित शिकवल्यास विद्यार्थ्यांना त्यात अधिक रस निर्माण होईल आणि शिक्षण अधिक प्रभावी होईल,” असे या अभ्यासाच्या लेखक डॉ. आदित्य कोलाचना म्हणतात. “आर्किमिडीजच्या तुलनेत भास्कराच्या कामाचा म्हणावा तितका अभ्यास झालेला नाही” असे त्यांना वाटते. त्यामुळे यापुढे भास्कराच्या कामावर  अधिक अभ्यास करावा असेही लेखक सुचवतात.