कायमाराचे रहस्य

संगीत वाद्ये, समुद्राच्या लाटा, गुरुत्वीय तरंग, अॅन्टेना आणि लंबक या सगळ्यांमध्ये सामायिक असलेला एक घटक म्हणजे या सर्वांचाच संबंध दोलनांशी (ऑसीलेशन्स) आहे. विविध दोलक एकत्र आल्यावर काय होते, हा प्रश्न महत्त्वाचा आहे. म्हणजे अनेक दोलक एकमेकांवर परिणाम करतील अशा पद्धतीने एकत्र आले तर काय होईल? भारतीय तंत्रज्ञान संस्था मुंबई येथील श्री तेजस कोतवाल यांनी चीन येथील बेहांग विद्यापीठाचे डॉ. झिन जियांग आणि नॉर्थवेस्टर्न विद्यापीठातील प्राध्यापक डॅनियल अब्राहम्स यांच्या सहकार्याने युग्मित दोलकांच्या कायमारा अवस्थेचे मूळ काय आहे याचे स्पष्टीकरण एका साध्या गणिती समीकरणाच्या  आधारे दिले आहे.

एकसारखे युग्मित दोलक (कपल्ड ऑसीलेटर्स ) असतील तर त्यांची दोलने एकतर वाट्टेल तशी होतील किंवा एकमेकांशी संपूर्णपणे सुसंगत अशी होतील, अशी एकविसाव्या शतकाच्या सुरुवातीला मोठ्या प्रमाणावर समजूत होती. मात्र नंतर असे दिसले की, काही विशिष्ट परिस्थितीत त्यातले काही दोलक लहानशा गटात एकमेकांशी सुसंगत वागतात तर काहींची दोलने कशीही होतात. जणू काही प्रत्येक गटाची एक स्वतंत्र ओळख असते. २००२ मध्ये लक्षात आलेल्या या विरोधाभासात्मक वर्तनाला “कायमारा अवस्था” असे म्हणतात. कवी होमरच्या इलियड या महाकाव्यात एकापेक्षा अधिक प्राण्यांनी बनलेल्या आणि आग ओकणाऱ्या कायमारा नावाच्या एका राक्षसी प्राण्याचे वर्णन येते. या प्राण्याचे धड सिंहाचे असून त्याच्या पाठीतून बकऱ्याचे डोके उगवल्यासारखे दिसते आणि शेपटी सापासारखी असते. त्याच्यावरूनच “कायमारा अवस्था” हे नाव पडले आहे. फिजिकल रिव्हयू लेटर्स या नियतकालिकात प्रसिद्ध झालेल्या शोधनिबंधात संशोधकांनी असे दाखवून दिले आहे की युग्मित दोलकांसाठी असलेली गणिती समीकरणे (प्रतिरूप) वापरून “कायमारा अवस्थेचे” मूळ समजून घेता येते.

त्यांच्या विश्लेषणाची सुरुवात होते ती कुरामोतो मॉडेल वापरून. “१९७० पासून कुरामोतो मॉडेल अस्तित्त्वात आहे. आत्तापर्यंत हजारो संशोधकांनी त्याचा वापर करून निसर्गातील गोष्टी एकमेकांशी सुसंगत कशा असतात ते समजून घेण्याचा प्रयत्न केला आहे. काजवे एकसाथ चमकतात, रातकिडे सुरात सूर मिसळून किरकिरतात, हृदयातल्या सगळ्या पेशी एकत्र आकुंचन पावून रक्ताला वाट करून देतात इत्यादी काही उदाहरणे. हे मॉडेल आवश्यक तितके क्लिष्ट असले तरी साधे पेन आणि कागद घेऊनही सोडवता येण्यासारखे आहे.” असे या शोधनिबंधाचे सहलेखक असलेले नॉर्थवेस्टर्न विद्यापीठाचे प्राध्यापक डॅनियल अब्राहम्स म्हणतात. “इतक्या अरेषीय आणि निश्चित उकल असलेल्या” समीकरणांचा हा दुर्मिळ संयोग म्हणजे कोणत्याही सैद्धांतिक गणितज्ञाचे स्वप्न सत्यात उतरल्यासारखेच आहे.

दोलकांची नैसर्गिक वारंवारिता, त्यांच्यातील युग्मतेची बळकटी आणि त्यांच्य प्रावस्थेत (फेज) असलेला फरक अशा विविध घटकात बदल झाले असता कुरामोतो मॉडेलमध्ये काय बदल घडून येतात याचा संशोधकांनी अभ्यास केला. “या शोधनिबंधातील महत्त्वाचा मुद्दा म्हणजे कुरामोतो सुसंगत अवस्थेतून पिचफोर्क (द्विशूल) द्विभाजानाद्वारे कायमारा अवस्था गाठता येते. कायमारा अवस्था तयार होणे हा निखालसपणे सममिती बिघडण्याचा (सिमेट्री ब्रेकिंग) प्रकार आहे असे आमच्या विश्लेषणातून दिसते.” असे या शोधनिबंधाचे प्रथम लेखक, आयआयटी मुंबईचे तेजस कोतवाल सांगतात.

एखादी प्रणाली नियंत्रित करणाऱ्या इनपुटपैकी एखादे इनपुट सावकाश बदलत नेले असता त्या प्रणालीत अचानकपणे जो नाट्यमय बदल घडून येतो त्याचे वर्णन करण्यासाठी “द्विभाजन” ही संज्ञा गणिती अर्थाने वापरली जाते. उदाहरणार्थ, पाण्याचे तापमान सावकाश वाढवत नेले असता, ते १०० अंश सेल्सियसला पोहोचल्यावर पाण्याचे रुपांतर अचानक द्रवस्थितीतून वायुस्थितीत होते. पिचफोर्क द्विभाजानात नियंत्रण करणारे इनपुट सावकाश बदलत द्विभाजन उंबरठ्यापलीकडे नेले असता, त्या प्रणालीतील समतोलाची एक अवस्था जाऊन त्याऐवजी तिला दोन समतोल अवस्था प्राप्त होतात आणि या दोन्ही अवस्था मूळ समतोल अवस्थेपेक्षा वेगळ्या असतात. मूळ समतोल अवस्था नाहीशी होते. (म्हणजेच ती अवस्था स्थिर राहत नाही.) “युग्मित दोलकाच्या उदाहरणात, नियंत्रित करणारे घटक सावकाशपणे बदलत नेले असता एका समतोल अवस्थेकडून, म्हणजेच संपूर्णपणे सुसंगत अवस्थेकडून दोन वेगेवेगळ्या स्थिर संतुलित अवस्थांकडे, म्हणजेच दोन प्रकारच्या कायमारा अवस्थेकडे जाता येते.” असे प्राध्यापक अब्राहम्स सांगतात.

‘सममिती बिघडणे’ ही संकल्पनादेखील एका साध्याशा उदाहरणाने समजून घेता येईल. अशी कल्पना करा की, एखादी पेन्सिल तिच्या टोकावर तोल साधून उभी आहे. ती एकदम संतुलित अवस्थेत असली तरीही कोणत्या ना कोणत्या बाजूला पडणारच आहे. निसर्गनियमानुसार ती एखाद्या विशिष्ट बाजूलाच पडेल असे नाही. मात्र एकदा का तिचा तोल ढळला की ती एखाद्या दिशेला पडते आणि सममिती बिघडली असे आपण म्हणतो. कायमारा अवस्था तयार होणे हा सममिती बिघडण्याचाच एक प्रकार आहे का हे याआधीच्या अभ्यासातून स्पष्ट झाले नव्हते. तसेच कायमारा अवस्था आणि संपूर्ण सुसंगत अवस्था यातील ठळक संबंधही दिसला नव्हता. मात्र, वरील अभ्यासातून कायमारा अवस्था जाणून घेणे आणि या अवस्था कुठून निर्माण होतात ते समजणे शक्य होते.

या संशोधनाचा वापर कुठे होऊ शकतो याबद्दल बोलताना श्री. कोतवाल म्हणतात, “या मॉडेलच्या मांडणीचा उपयोग रासायनिक आणि जैविक दोलकांच्या किंवा लेझर आणि यांत्रिक लंबकांच्या प्रणाली कशा चालतात हे विशद करण्यासाठी होऊ शकतो. चेतासंस्थाशास्त्रात आणि हृदयाच्या पेशींच्या हालचाली समजून घेण्यासाठी देखील या अभ्यासाचा बराच उपयोग होऊ शकतो.”