ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಸ್ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಗಣಿತ ಕಲಿಕೆ ಸುಲಭ

ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಕಲಿಯಬೇಕಾದರೆ ಗಣಿತದ ತರಗತಿ ನೆನಪಿದೆಯೇ? ಗಣಿತ ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಬಹುಪಾಲು ಜನರಿಗೆ ಕಬ್ಬಿಣದ ಕಡಲೆಯಾಗಿತ್ತಲ್ಲವೇ? ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸುಮ್ಮನೆ ಬಾಯಿಪಾಠ ಮಾಡಿ ಪರಿಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತಿದ್ದುದು ನೆನಪಿದೆಯೇ? ಇಂತಹ ತಲೆನೋವಿನ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಸೂತ್ರವೂ ಸಹ ನಾವು ಬಾಯಿಪಾಠ ಮಾಡಿ ಬರೆದ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು. ಆ ಅದ್ಭುತವಾದ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ನಾವು ಹೇಗೆ ಬಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ತಿಳುವಳಿಕೆಯಿಲ್ಲದೆ ನಾವು ಅದನ್ನು ವಿವಿಧ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ. ಆದರೆ ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ಪ್ರಾಚೀನ ಗಣಿತದ ಅಧ್ಯಯನವು, ಕೆಲವು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಲು ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಸರಳ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡಬಹುದು. ‘ಇಂಡಿಯನ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿ’ಯ ಜರ್ನಲ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ಅಧ್ಯಯನವೊಂದರಲ್ಲಿ, ಪ್ರೊಫೆಸರ್ ಕೆ ರಾಮಸುಬ್ರಮಣಿಯನ್ ನೇತೃತ್ವದ ಇಂಡಿಯನ್ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಟೆಕ್ನಾಲಜಿ, ಬಾಂಬೆಯ ಸಂಶೋಧಕರು, ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ಮತ್ತು ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಳಸಿದ ಮೊದಲ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಕೆಲವು ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಕಲಿಸಲು ಆ ವಿಧಾನಗಳು ಹೇಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತವೆ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಸಂಶೋಧಕರು ಕೆಲವು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಮ್ಮ ಮುಂದಿಟ್ಟಿದ್ದಾರೆ.

ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು (Integral Calculus) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ 17 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವ ಹಲವಾರು ಶತಮಾನಗಳ ಮೊದಲೇ ಈ ಸೂತ್ರದ ಬಳಕೆಯಾಗಿತ್ತು. ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಸ್ ಕ್ರಿ.ಪೂ 3 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಮಾಡಿದ ಮೊದಲ ವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅವರ ಕೃತಿ ‘ಆನ್ ದಿ ಸ್ಪಿಯರ್ & ಸಿಲಿಂಡರ್’ದಲ್ಲಿ ಇದರ ಉಲ್ಲೇಖವಿದೆ. ಕುತೂಹಲಕಾರಿ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕರಂತೆಯೇ, ಭಾರತದ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಕೂಡ ವಿವಿಧ ಆಕೃತಿಗಳ ವಿಸ್ತಿರ್ಣ ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದ್ದರು. ವಿಸ್ತಿರ್ಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಬಗೆಗಿರುವ ಅನೇಕ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಶುಲ್ಭ-ಸೂತ್ರ ಗ್ರಂಥಗಳಲ್ಲಿ (ಕ್ರಿ.ಪೂ .800) ಕಾಣಬಹುದು. ಇದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಪೂಜಾಸ್ಥಳಗಳ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ.

ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಕ್ರಿ.ಪೂ 5 ನೇ ಶತಮಾನದ ಕಾಲದಿಂದಲೂ ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ಗೋಳಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಿದ್ದನ್ನು ನಾವು ಕಾಣಬಹುದು. ಆರ್ಯಭಟ (I) ತನ್ನ ಆರ್ಯಭಟೀಯಂದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತಿರ್ಣಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡಿರುವುದು ಇದಕ್ಕೆ ಉದಾಹರಣೆ. ಆದರೆ ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ಮೊದಲ ಭಾರತೀಯ ಪಠ್ಯವು ಕ್ರಿ.ಶ 8 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಲಲ್ಲಾ ಎಂಬ ಗಣೀತಜ್ಞರ ಪಾಟಿಗಣಿತ ಎಂಬ ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ. ಅದು ಕಳೆದುಹೋಗಿದ್ದರೂ, ಭಾಸ್ಕರ ಅವರು ತಮ್ಮ ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ ಲಲ್ಲಾ ಅವರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಅವು ತಪ್ಪಾಗಿವೆ ಎಂದು ಟೀಕಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಕ್ರಿ.ಶ. 10 ನೇ ಶತಮಾನದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಮಹಾ-ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂಬ ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಆರ್ಯಭಟ ( II ) ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಿರುವುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡಬಹುದು. ಭೂಮಿಯ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಚೆಂಡಿನ ಮೇಲೆ ಬಲೆಯನ್ನು ಹರಡಿದಂತೆ ಕಲ್ಪನೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ. ಈ ಪ್ರದೇಶವು ವ್ಯಾಸದಿಂದ ಗುಣಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಸುತ್ತಳತೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳಿದ್ದಾರೆ, ಆದರೆ ಉಳಿದಿರುವ ಸಾಹಿತ್ಯವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿದಾಗ, ಅವರು ಆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿ ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಿದ್ದರು ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ನಮಗೆ ಯಾವುದೇ ಸುಳಿವು ಸಿಕ್ಕಿಲ್ಲ.

ಚೆಂಡಿನ ಮೇಲೆ ಹರಡಿದ ಬಲೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಕ್ರಿ.ಶ 12 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಭಾಸ್ಕರರು ತಮ್ಮ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಕೃತಿ ಲೀಲಾವತಿಯಲ್ಲಿ ಗೋಳದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ತಿಳಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅವರ ‘‘ಸಿದ್ಧಾಂತ ಶಿರೋಮಣಿ’’ ಮತ್ತು ಅದರ ಸ್ವಯಂ-ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ  ‘ವಾಸನಾಭಯ’ದಲ್ಲಿ ಇದರ ಉಲ್ಲೇಖವಾಗಿರುವುದನ್ನು ನಾವು ಕಾಣಬಹುದು. ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞರ ವಿಶೇಷತೆಯೇನು ಗೊತ್ತೆ? ಗಣಿತದ ಜೊತೆಗೆ ಅದನ್ನು ಬೋಧಿಸುವ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಸಹಾಯಕವಾದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸಹ ಇವರು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ.

‘ವಾಸನಾಭಯ’ದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ಮೊದಲ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಭಾಸ್ಕರರು ಗೋಳವನ್ನು ಪಟ್ಟಿಗಳ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತಾರೆ. ನೀವು ಟೊಮೇಟೋವನ್ನು ಹೇಗೆ ತುಂಡು ಮಾಡುತ್ತೀರೋ ಆ ರೀತಿಯಾಗಿ; ಮಧ್ಯ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ತುಣುಕುಗಳು, ಧ್ರುವಗಳಿಗೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ತುಣುಕುಗಳಿಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸ್ಟ್ರಿಪ್ (ಪಟ್ಟೆ) ಅಥವಾ ವೃತ್ತಾಕಾರದಲ್ಲಿರುವ ತುಣುಕನ್ನು ಬಿಚ್ಚಿದಾಗ, ಅದು ತ್ರಾಪಿಜ್ಯದ ಆಕಾರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.  ಈಗ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದರ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತುಂಡಿನ ಅಗಲವು ನಾವು ಎಷ್ಟು ಚೂರುಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉದ್ದವು ಅದು ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಎಷ್ಟು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಟ್ರಿಪ್(ಪಟ್ಟೆ) ನ ಅಂತರ ಮತ್ತು ಅದರ ಆಯಾಮಗಳ ನಡುವಿನ ಸ್ಥಾಪಿತ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಅದರ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಎಲ್ಲಾ ಪಟ್ಟೆಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಮೊತ್ತವು ನಮಗೆ ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯಾಗಿ ಭೂಮಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಅಕ್ಷಾಂಶದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವಿಂಗಡಿಸಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಎರಡನೆಯ ವಿಧಾನವು ಸಿದ್ಧಾಂತಶಿರೋಮಣಿಯಲ್ಲಿ ಬಹು ಸುಂದರವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಇದು ವಾಸನಾಭಯದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ ಸಮಂಜಸವಾಗಿದ್ದರೂ, ಉಪಾಯ ಬೇರೆ. ಇಲ್ಲಿ ಗೋಳವನ್ನು ಟೊಮೆಟೊದಂತೆ ಕತ್ತರಿಸುವ ಬದಲು, ಅದನ್ನು ಸೇಬಿನಂತೆ ಕತ್ತರಿಸುವುದನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಭಾಸ್ಕರರು ಇಲ್ಲಿ ಗೂಸ್ ಬೆರ್ರಿ ಅಥವಾ ನೆಲ್ಲಿಕಾಯಿಯ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ನೆಲ್ಲಿಕಾಯಿಯನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುವಾಗ, ತೆಳುವಾದ ಒಂದೇ ಗಾತ್ರದ ಅರ್ಧಚಂದ್ರಾಕಾರದ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು. ನಂತರ ಈ ಆಕಾರವನ್ನು ಅಗಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತೆ ತುಂಡು ಮಾಡಿದಾಗ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ತ್ರಾಪಿಜ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ನಂತರ ಇವುಗಳ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ ಎಲ್ಲ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದು ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಾಗ ಅದು ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಭೂಮಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ರೇಖಾಂಶಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಕತ್ತರಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸಬಹುದು.

ಇನ್ನೊಂದೆಡೆ ಗ್ರೀಕ್ ನ ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಸ್ ಗೋಳವು ಕೋನದ ನಾಲ್ಕು ಪಟ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅಂದರೆ ನಾಲ್ಕು ಸಮನಾದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಿದರೆ ನಮಗೆ ಗೋಳವು ಸಿಗುತ್ತದೆ.  ಈ ಕೋನದ ಎತ್ತರವು ಅದರಿಂದ ರೂಪಿಸುವ ಗೋಳದ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಹಾಗೂ ಕೋನದ ತಳದಲ್ಲಿ ಸಿಗುವ ವೃತ್ತವು ಗೋಳದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿರುವ ಬೃಹತ್ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ‘ರಿಡಕ್ಟಿಯೊ ಆಡ್ ಅಬ್ಸರ್ಡಮ್’ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಅವರು ಸೂಚಿಸಿದ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಕಠಿಣ ಪುರಾವೆ ನೀಡಿದರು.

"ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಸ್ ತನ್ನ ವಾದಗಳನ್ನು ಮಂಡಿಸುವ ಮೊದಲು ಹಲವಾರು ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಮತ್ತು ಊಹೆಗಳನ್ನು ಮಂಡಿಸುತ್ತಾರೆ. ತದನಂತರ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿ ಮೂವತ್ತಮೂರು ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳ ಮೂಲಕ ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತಾರೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗೂ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಿ, ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿಯೇ ಮುಂದಿನದನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ.” ಎಂದು ಲೇಖಕರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಗೋಳದೊಳಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಘನ ದೇಹವು ಒಂದು ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಎಳೆಯಬಹುದಾದ ಅತಿದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕಿಂತ 4 ಪಟ್ಟು ಕಡಿಮೆ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಗೋಳದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಅದರ ಮೇಲೆ ಎಳೆಯಬಹುದಾದ ದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕಿಂತ 4 ಪಟ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಿರಬಾರದು. ಗೋಳವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಯಾವುದೇ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಘನ ದೇಹವು ಒಂದು ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಎಳೆಯಬಹುದಾದ ಅತಿದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕಿಂತ 4 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ತೋರಿಸಿದರು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಗೋಳದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಅದರ ಮೇಲೆ ಎಳೆಯಬಹುದಾದ ಅತಿದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕಿಂತ 4 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿರಬಾರದು. ಒಂದು ಗೋಳವು ಅದರ ಮೇಲೆ ಎಳೆಯಬಹುದಾದ ದೊಡ್ಡ ವಲಯಕ್ಕೆ 4 ಪಟ್ಟು ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಗೋಳದೊಳಗೆ ಎಷ್ಟೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಘನ ದೇಹದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು, ಒಂದು ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಎಳೆಯಬಹುದಾದ ಅತಿದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತದ ನಾಲ್ಕು ಪಟ್ಟು ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಗೋಳದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಅದರ ಮೇಲೆ ಎಳೆಯಬಹುದಾದ ದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತದ ನಾಲ್ಕು ಪಟ್ಟು ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರಬಾರದು. ಹಾಗೆಯೆ ಮುಂದುವರೆದು, ಗೋಳವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅನೇಕ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಘನಾಕೃತಿಯು, ಒಂದು ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಎಳೆಯಬಹುದಾದ ಅತಿದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕಿಂತ 4 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ತೋರಿಸಿದರು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಗೋಳದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಅದರ ಮೇಲೆ ಎಳೆಯಬಹುದಾದ ಅತಿದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕಿಂತ 4 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿರಬಾರದು. ಅಂದರೆ ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕಾದರೆ. ಒಂದು ಗೋಳವು ಅದರ ಮೇಲೆ ಎಳೆಯಬಹುದಾದ ದೊಡ್ಡ ವಲಯಕ್ಕೆ 4 ಪಟ್ಟು ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ತೋರಿಸಿಕೊಟ್ಟರು.

ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಎತ್ತಿ ತೋರಿಸುತ್ತಾ, ಸಂಶೋಧಕರು ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳ ಮಹತ್ವವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಭಾಸ್ಕರರ ವಿಧಾನಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮತ್ತು ಪ್ರಾತ್ಯಕ್ಷಿಕ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಸ್ ವಿಧಾನ ಹೆಚ್ಚು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಭಾಸ್ಕರ ವಿಧಾನಗಳು ಗೋಳವನ್ನು ಈ ಮೊದಲೆ ಗೊತ್ತಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕಾರಗಳನ್ನಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ ಅವುಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದು ಸೇರಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ಯುವ ಮನಸ್ಸುಗಳಿಗೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಭಾಸ್ಕರರು ಸರಳ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಕೂಡಿಸುವ ಸುಲಭ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನ ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಚಿಕ್ಕವರಿಂದ ಹಿಡಿದು ಪ್ರೌಢರವರೆಗೆ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಇದನ್ನು ಅರ್ಥ ಮಾಡಿಸಬಹುದು.

ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ, ಭಾಸ್ಕರರ ವಿಧಾನಗಳು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ವಿಷಯವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವೆಂದು ಸಂಶೋಧಕರು ಭಾವಿಸುತ್ತಾರೆ. ಭಾಸ್ಕರರ ಅನೇಕ ಕೃತಿಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಚಿಂತನೆಯ ಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳನ್ನು ಶಾಲೆಗಳಲ್ಲಿ ನಿಗದಿತ ಗಣಿತ ಪಠ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲು ಅವರು ಸಲಹೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾರೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಸ್‌ನ ವಿಧಾನಗಳು ಸುಧಾರಿತ ಗಣಿತದ ಹಾಗೂ ಹೆಚ್ಚು ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಬಯಸುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಆಕರ್ಷಿಸುತ್ತವೆ. ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ನಿಧಾನವಾಗಿ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯ ಮೂಲಕ ವಾದ-  ಪ್ರತಿವಾದಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು ಗಣಿತದ ವಿದ್ಯರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಬಲು ಆಕರ್ಷಣೀಯ.

“ಅವರ (ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಸ್) ವಿಧಾನವು ಸವಾಲಿನ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಮೀಪಿಸುವುದು ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಕೆಲವು ಪ್ರಮುಖ ಪಾಠಗಳನ್ನು ಕಲಿಸುತ್ತದೆ”, ಎಂದು ಲೇಖಕರು ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆ.

"ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞರು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಕಲಿಸಲು ಸರಳ ಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಕಾವ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೋಡಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿದರು.  ಅವರು ಜನಪ್ರಿಯ ಸಂಸ್ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬೇರೂರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಯುವ ಮನಸ್ಸುಗಳ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯಲು ತಮ್ಮ ಪುರಾವೆಗಳ ಜೊತೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪ್ರದರ್ಶನಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಒತ್ತು ನೀಡಿದರು. ಅಂತಹ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಪುನಃ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಯುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪರಿಚಿತವಾಗಿರುವ ಸಂಸ್ಕೃತಿ ಮತ್ತು ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಶಿಕ್ಷಣವನ್ನು ಬೇರೂರಿಸುವುದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುತ್ತದೆ.” ಎಂದು ಅಧ್ಯಯನದ ಲೇಖಕರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರಾದ ಡಾ. ಆದಿತ್ಯ ಕೋಲಚನಾ ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. 

"ಮುಂದಿನ ಹಂತವಾಗಿ, ಭಾಸ್ಕರ ಕೃತಿಗಳ ಕುರಿತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಶೋಧನೆಗಳನ್ನು ಲೇಖಕರು ಸಮರ್ಥಿಸುತ್ತಾರೆ ಹಾಗೂ "ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಸ್‌ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ, ಇನ್ನೂ ಇದನ್ನು ಸಾಕಷ್ಟು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿಲ್ಲ" ಎಂದು ತಿಳಿಸುತ್ತಾರೆ.